趣味游戏和智力玩具

来源:吉言网 编辑:冷卉 2018-12-20 17:08:10
趣味游戏和智力玩具
  

折纸术

正多边形被公认为是数学中的完美图形,对称且性质独特。用一张长方形的纸张折正方形是最简单的,那么能否折出正三角形、正五边形甚至是正六边形呢?

如图1,用一张长方形的纸A B C D,使长边A B、 C D重合,得到中间的折线,设为E F。以点B为顶点,B C为正三角形的一边,翻折使得点C落在E F上,记该点为点O,则三角形O B C就是一个正三角形。

图1

图2

其实正五边形的折法更为女孩子所熟悉。想想看曾经风靡一时的正五边形是怎么来的?用一根宽度一定的细长的缎带如图打一个结,根据结的两边再折两条痕迹,那么一个小巧的正五边形就展现出来了(如图2)。

图3

正六边形也简单。掌握了正三边形的折法后,正六边形就是由六个正三角形组成的,所以将原来大长方形分割成四个小长方形后,分别折出正三边形,那么借助位于小长方形内部的正三边形的顶点,如图3顺次连接就可以得到我们要的正六边形O 1O 2B′ O 3O 4B。

猫捉老鼠游戏

如下图,圆圈内标有字母C的代表猫的所在地,圆圈内标有M的代表老鼠的所在地。猫和老鼠都只能沿着棋盘上的路线走,每次只能走一步。老鼠不知道前往何处,于是等待猫采取行动之后再寻找合适的逃跑路线。那么猫一步步地移动去追赶老鼠,老鼠也一步步地逃离,有什么方法可以让猫最终抓到老鼠胜利而归呢?

猫要想抓住老鼠,必须在老鼠走完之后处于相邻位置。为了简便,用两种圈: 白圈和黑圈给上述图形交替着色,使得与黑圈相邻的都是白圈,与白圈相邻的都是黑圈,这样一来只要猫的位置是在与老鼠所在圈相邻的异色圈内就可以大功告成了。可是你会发现,有一个圈很奇特,它既与白圈相邻,又与黑圈相邻,为了与其他圈区别开来,我们给它着上阴影。如下图:

如果猫向黑圈移动,那么老鼠也只要往黑圈移动就可以了,因为任意两个黑圈之间都不能一步到达。同样,如果猫向白圈前进,老鼠也只要采取相同的策略就可以躲避猫的追捕。但还有一个特殊的阴影圈。只要进入这个圈,就可以实现黑圈和白圈的转换。如果猫不是一味地朝着老鼠做无用功,而是先进入阴影圈之后再追捕,那么成功的可能性就大大提高了。比如原来猫向黑圈走,老鼠也走入某个黑圈,当猫进入阴影圈后,老鼠肯定只能走向某一个白圈。此刻猫走进白圈,与老鼠所在白圈相邻的都是黑圈,那时它只能走进某个黑圈里。此时两者位于两种颜色的圈内,这时猫要抓住老鼠就有可能了。

不要盲目地追随目标,“以退为进”也不失为一种良策。

三对新婚夫妇过河游戏

尼可洛·塔尔塔利亚(Nicolo Tartaglia)是16世纪意大利著名的数学家。他在1535年发现了一般三次方程的解,还写了《数和度量专论》,而且还是将欧几里得的《几何原本》翻译成现代西方语言的第一人。过河问题是他设计的其中一道很有名的数学趣题,也称为“塔尔塔利亚问题”。

一天,三对新婚夫妇来到河边,有一只小船可以乘着过河,但是一次只能载两人,而且必须要有一个人渡船。每个丈夫都嫉妒成性,随时要保护着他美丽的新娘,决不让自己的新娘和其他的男子单独在一起。那有什么策略可以让这三对夫妇顺利过河呢?

如果用H表示丈夫,W表示妻子,三对夫妻分别记为H1、 W1,H2、 W2,H3、 W3

(1) H1、 W1过河,H1返回;

(2) H2、 W2过河,H2返回;

(3) H3、 W3过河,H3返回;

(4) H1、 H2过河,W3返回;

(5) H3、 W3过河。

除了这种方法,你还可以尝试其他的过河策略。你也可以思考一下,三对夫妻全部过河最少需要渡船几次呢?

当然,过河问题还远不止这种。如今,在网上人们已经把过河问题做成了很多种小游戏,不同的事物不同的规则,只要点击鼠标就可以轻松地跟随你的意愿让它们过河,在动手之余也体会思考的乐趣。

繁花曲线规

在上海市场上可以买到一种智力玩具,叫做繁花曲线规。它由一套彩色塑料齿轮组成。一个大齿轮是环状的,牙齿做在它的内壁;几个小齿轮的牙齿做在外壁,小齿轮内部有一些小圆孔和几个其他形状的、较大的孔。使用时,用左手按住大齿轮,让它紧贴在纸上,不能移动。在大齿轮里放一只小齿轮,把笔尖插进小齿轮的某一个孔里,让小齿轮紧贴大齿轮内壁滚动,这时笔尖就会在纸上画出许多美丽的曲线花纹。

另外,也可按住小齿轮,把笔尖插入大齿轮的某个小孔中,使大、小齿轮啮合运转,同样也能画出各种美观的曲线。

大、小齿轮的齿数之比,约为最简分数时,其分母就是小齿轮的自转数,也就是图案中的花瓣数,而分子则是小齿轮沿着大齿轮的公转数。所以,只要掌握这个最简分数,就能知道画出来的图案,大概是什么形状的。

总而言之,选用不同的齿轮与合适的孔,就可以画出细腻、动人的各种曲线,例如玫瑰线、内摆线等等。

飞车过桥

要使桥两边的汽车互相交换位置,至少需要几步?有没有规律性?

用白纸画一个狭长的长方形,共分五格,中间的3号格代表“正桥”部分,两端是“引桥”。另外用硬纸剪出四辆汽车,两黑两白,各置桥的两边。

所谓过桥,其实并没有“过”,而是在桥上作惊险表演。要求右边的车子与左边的车子交换一下位置,但是桥面上不能并行两辆汽车,而且,每一段标上号码的桥面上也只能容纳一辆车子。汽车可以向前开到空格中去,但不准许倒退;还可以做特技动作,跳过前方的一辆车子而进入空格,但不能跳过两辆车子。请问: 至少需要几步?

答案是8步。走法如下:

2→3, 4→2, 5→4, 3→5, 1→3, 2→1, 4→2, 3→4。

进一步,你可以来玩一玩给六辆、八辆、十辆汽车“过桥”的游戏,它们的最少步数将是15、24、35。

如果你能用归纳法发现n辆汽车过桥的最少步数是,那当然是更好了。

惠威尔表达式

个位数中属9最大,而9的学问也不少。一天老师给同学留了一个思考题: 使用+、-、×、÷等数学符号,用4个9表示从0到15的数。

俗话说得好: 团结就是力量。第二天,全班同学就由课代表上交了这样一份特殊的作业,归结如下:

0=9-9+9-9, 1=+9-9=

2=+, 3=

4=+

5=9--+

6==9-9+9-

7=9-=9-+

8=-

9=9+

10=

11=+9=9+-

12=+++

13=9++, 14=+

15=9+9-+9。

这个问题用发现者惠威尔博士(Dr.W.Whewell)命名,是其在1859年1月提到的。随着时间的推移,爱好数学的人也把“9”的这门特殊的学问延伸下去。用这种方法表示所得出的结果早已突破了100。而且不仅“9”如此特殊,“4”的魅力也被人发现。有兴趣的同学不妨自己尝试一下。

丢掉一个8得到一片天

如果让你在1到9之间选择一个你最喜爱的数字,再给你一个算式,想象一下最终都是最喜欢的数字会是怎样?当我第一次看到这个算式的时候,也大吃一惊。数学真是无奇不有。

给你一个算式: 12345679×( )=?

如果说7是有的人的幸运数字的话,那么12345679×63=777777777。换成是3照样可以,12345679×27=333333333。就少了一个数字8,可是却能够得到自己最喜欢的数,究竟是什么魔力呢?

其实原理很简单,没有著名定理的运用,也不是严密的逻辑推理,仅仅是数学中一个极其平凡的等式的运用,12345679×9=111111111。在四则运算符号的打扮下,你会惊奇地发现数字也会变得很美。只要有这个缺“8”数,即使只是掌握了最基本的乘法口诀,也能够在其他人的面前展现你的“特异功能”:

12345679×18=222222222,

12345679×36=444444444,

12345679×45=555555555,

12345679×54=666666666,

12345679×72=888888888,

12345679×81=999999999。

除此之外,这个神奇的缺8数还能制造出更多的“缺数”:

12345679×28=345679012(缺8),

12345679×29=358024691(缺7),

12345679×31=382716049(缺5),

12345679×32=395061728(缺4),

12345679×34=419753086(缺2),

12345679×35=432098765(缺1)。

“退一步海阔天空”,原来这种人生哲言在数学中也能找到依据。看来数学的美在生活中真是无处不在,需要的仅仅是双眸,等待的仅仅是发现!

二分法提问

假如有本书,旁人随意指定书中的任意一个字(符号也算是一个字),你能用多少次猜中那个指定的字呢?对方针对你的回答,只能答复是或不是。

当然,如果按照书页,将字逐个猜“是这个字吗?”,也不是不可以,只是多了分乏味,少了分趣味。万一那本书是厚厚的一本,指定的字刚好又是在尾段,那岂不是一项巨大的工程?如果没有足够的耐心和十足的信心,面对如此机械的工作恐怕早就半途而废了。

如果这本书有200页,每页上的字不超过1000个,最坏的打算真的要猜199999次吗?相信换了谁都不愿意。

我们先来看看简单的情况。如果只有两个字设为1和2,问“是1吗?”,回答“是”,那么就是1。回答“不是”,那么就只能是2。如果有四个字1、 2、 3、 4,如果我逐个询问“是吗?”,而这个要猜的数恰好是4,就需要问3次。但同样的情况若是问“是1或2吗?”,否的回答让我们直接将目标锁定在了3和4上,还只需一问就可以完全确定了。也就是说一问的话可以确定两个字的情况,两问可以确定四个字的情况,三问验算下来也可以确定8个字中的一个,这样一来,如果用这种方法问n次,那就可以猜中2n个字中哪一个是(可以用数学归纳法证明)。每次将情况一分为二来进行考虑,我们通常称为二分法。而该种方法在计算机的运作中也起着相当大的作用。

因为217=131072<200000<262144=218,所以这本不足二十万字的书,其实只需要18次的提问就可以将字确定下来。想起来有点不可思议,但是真的不可忽略这个小小的2能有如此大的功效。

你也可以尝试一下,如果要将这本《趣味数学》中的某个字猜出来,需要多少次提问呢?

孩子王游戏

儿时我们可能都做过这样的游戏,比如有15个孩子排成一个圆圈,从某一个人开始顺时针1至7报数,每次报到7的孩子就要退出,然后从被去掉的这个人的下一位开始,重新1至7报数。到最后剩下的那个人就为最终的胜者,成为孩子王。那么究竟应该排在第一个开始数数的人后面第几位才能成为真正的孩子王呢?

如下图排成圈后,给每个人1至15编号。经过第一圈报数后,7号与14号被去掉。剩下来的人中报数顺序为15、 1、 2、 3、 4、 5、 6、 8、 9、 10、 11、 12、 13,则报数之后6与15被去掉。剩下1、 2、 3、 4、 5、 8、 9、 10、 11、 12、 13。继续1至7报数,于是9被去掉。从9号后一位10号开始继续报数,如此重复下去,于是3、 13、 11、 10、 12、 2、 8、 1、 4相继被淘汰,到最后剩下来的就是5号。也就是说最初站在第五个位置报数的人能够笑到最后,成为众多小朋友中的孩子王。

在西方,这类问题可能要数“约瑟夫问题”了。据说,某次战役中有64名战士被敌人俘虏了,敌人命令他们排成一圆圈,并从1开始一、二报数。敌人先把1号杀了,又把3号杀了,战士一个隔一个被敌人杀害。由于首尾连接,报数一直进行,但自始至终都是报到奇数的人被杀害。到最后只剩下了一个人,这个人就是约瑟夫。该问题也就被称为“约瑟夫问题”。

和约瑟夫类似的问题还有很多,譬如日本的“继子立问题”也十分类似: 某人死后留下一笔遗产,前妻有15个孩子,第二个妻子也有15个孩子,三十个孩子排成一圈,每次数到的第十人就退出遗产继承范围,反复地数,这样最后剩下的那个人就继承全部财产。

封锁棋

封锁棋,顾名思义就是封锁对方。我国根据棋的特点将其命名为“封锁棋”,而在韩国,人们称它为“酷乐棋”。封锁棋对逻辑思维有一定的要求,要想下好封锁棋,需要人们仔细地思考,要有一定策略。

如下图是封锁棋的棋盘,整个棋盘成凹形,也可以看成是正方形的四个顶点及其中心相互连接,少了一条边。而棋子采用黑白两色棋各两颗。一方的两颗棋子放在A、B处,C、D处是另一方的两颗棋子。双方轮流下棋,每次只能移动一步,必须根据棋盘中的线段来走棋。下棋过程中,一个位置只能有一颗棋子,不能叠棋,也不能跳跃。当一位棋手的两颗棋子不能移动时,那他就已经被对手给封锁住了。

要想封锁住对方,也就是说对手的出路只有两个圈,而这两个圈又刚好被对方的棋子占领。整个棋盘上这个最不利的局势要数棋盘两侧的位置了。当一方的两颗棋子都在同一侧时,例如分别在A、C(或者B、D)位置上时,如果另一方的棋子刚好卡住中央的空地以及D(或者C)处,那就真的是骑虎难下了。

五角星棋

在五角星棋盘上,数三步放一只棋子,怎样把尽可能多的棋子放到棋盘上去?

五角星棋来自民间。传说司马懿麾下15万大军直逼西城,困守城里的诸葛亮兵力单薄,只好摆下空城计。他设计了这种五角星棋,叫城中的士兵和老百姓都来玩,司马懿听到满城都是“一二三”的声音,疑有大量伏兵,不敢进攻,就下令退兵了。

一般认为,是罗贯中把各种民间传说整理成了《三国演义》的,于是人们猜测,这种棋的历史大概可以追溯到宋、元时期。

在纸上画一个五角星形状的棋盘,共有十个交点。为了说明玩法,我们在交点上标出数字。棋子共有9只,用纽扣、图钉、粉笔头,甚至小石子都可以。

五角星棋是一种供一个人玩的游戏,其目标是要将9只棋子全部放到棋盘的交点上去。游戏规则是: 从任何一个交点先放第一只棋子,以后的棋子要从未放上棋子的空交点处数起,数三步放一只棋子,并必须沿直线来点数,不准拐弯。在计数时,跨过的交点上有没有棋子是无所谓的。由于共有十个交叉点,根据游戏规则可以判明,最多只能放进9只棋子,留下一个空白交叉点,这个空白交叉点处在什么位置都行。

本棋玩法看似简单,但是不掌握规律很难达到目的。其秘诀是用“尾追法”,就是把上一次作为起点的那个交点,当作下一次的终点。依此类推,反复进行下去,必可获得成功。

古人给这种着法,起了一个形象化的名称,叫做“君子不忘其旧”。

“地道战”棋

这种棋用模拟“挖地道”的方式供两人对弈。棋盘呈正方形,方格可多可少。为了做记录的方便,可在每个小方格上标上号码。左上角的1号是入口,右下角的第n2号是出口(见图1)。

下棋目的是要从入口到出口挖一些地道。所谓“挖地道”,其实是用下棋子的方式来进行的。棋子有两类,一类是一次挖一条地道的,另一类是一次挖两条地道的,前者叫甲型着法,后者叫乙型着法。在对弈时,只能选择其中的一种,约定以后,不准中途变更。

棋子全是正方形的,其大小正好盖满一个小方格。甲型棋子有两种:“|”字形的表示直通地道;圆弧形的表示拐弯的地道(见图2)。乙型棋子也有两种:“十”字形的以及双“圆弧形”的(见图3)。下面分别介绍两型“地道战”棋的走法。

图2 甲型棋子

图3 乙型棋子

甲型: 两人轮流摆棋子,但第一颗棋子必须摆在左上角,而且只能摆“|字形”棋子,以后双方轮流走棋时必须使地道相连,不能另起一个头。当一方被迫把棋子摆到棋盘边界线,或已经挖过“地道”的方格边界线或出口处,他就算输。

图4

例如在4×4棋盘上进行的一个对局,甲先走,由于乙应付得当,结果甲反而失败了。

乙型: 走法同上面差不多,不过开始时应先摆“十”字形棋子。变化复杂得多,趣味更浓。

八仙过海

又名“重排九宫”。玩具制法甚简,画一个九宫格棋盘,左上角画虚线,代表出海处(见图1),也可不画,只要心照不宣就行。棋子可用硬纸片剪成,大小等于一个方格,上面分别标上1到8的编号,为增加兴趣起见,也可分别画上八仙的头像。

图1

图2

先把8只棋子任意打乱,随意放在各方格内,然后利用空格进行调动,要求它们按顺序排好(见图2),以便鱼贯出海。

应当指出,并不是所有混乱的棋子都可以按规定要求排列整齐。其中有一半只能排成图3的模样。

图3

图4

为了测算游戏者的“程度”,可从图4的布局开始,请注意这时棋子的摆法恰好全部颠倒,要把它重新排列整齐,最少需要移动30步,据研究,移法有十种之多,下面选录两种步法。

第一种: 347852174374863865214786521476;

(第一步“3”,表示将棋子3移入空格,然后将棋子4移入空格,……,依此类推。)

第二种: 147852478638652471861741521478。

移动十五

在分成十六个小方格的盒子里,装着十五块标有数字的小方块,还留下一个空格。按任意顺序把小块放进盒子,要求通过调动,使它们按照自然顺序一一排好(见图)。

不妨把空格看做数字“16”,那么各小块在盒内的一种布置便是1, 2, 3, …, 16的某种排列。在移动盒中的小块时,我们只能把与空格相邻的小块移进空格,也就是把这小块的数字与代表空格的数字16进行交换。适当地逐次交换相邻的两个数字,就可以得到每一个想要得到的排列。每作一次交换,叫做一步。有些排列需要奇数步变到自然顺序,有些则需要偶数步,这样,全体排列可分成两类: 偶排列和奇排列。如果小块位于空格的左边或右边,则这个“交换”就是上面所说的一步。但如把空格与上下相邻的小块进行交换,那就需要7步,即交换相邻数字7次才行。我们的问题要求让空格回到原位——盒子的右下角,这样向右和向左移动的次数必须相同,向上和向下移动的次数也必须相同。所以水平移动的次数是一个偶数2h,垂直移动的次数也是一个偶数2v,全过程需要移动

2h+7×2v=2h+14v(步),

这是一个偶数。

所以,如果开始时将小块放入盒子的排列是一个奇排列,那么,不论你把它移到何年、何月、何日,总不能把它恢复为自然顺序排列。

英国剑桥大学教授罗斯鲍尔(W.W.Rouseball)的《数学集锦》和华东师范大学孙泽瀛教授的《数学方法趣引》这两本书中都谈到了这个问题。近年来,有厂商将它制成智力玩具,在市场上行销甚广。

华容道

我国民间艺人根据《三国演义》故事创作了一种名叫“华容道”的智力玩具。

在一个长方框里(棋盘)放上十颗大大小小的棋子。其中曹操是最大的一颗棋子,五颗中型棋子分别为刘备手下的“五虎大将”关羽、张飞、赵云、马超、黄忠,再加上四颗小棋——四个小卒。

棋子如图放置,曹操已被团团围住,但盘中还有两小格的空隙,可当“华容道”的出口,因此,曹丞相仍有一线生机,他可以见缝插针,有空就钻。问题是怎样才能使曹操尽快逃出来呢?

这个游戏看似容易,实际却不简单。对初学者来说,只要求让曹操逃出,可以不限步数。玩得熟练了,就要研究怎样走动才能使步数最少。有趣的是,人们发现: 曹操之所以能够逃出,完全是关羽有意让路之故。这个玩具之所以取名为“华容道”,也许就是出于这一原因。

由于这一玩具简单易作,且生动有趣,很快流传到世界各国。目前的世界纪录是81步。许多人为此费尽心思,甚至动用了电子计算机,但也未能发现更好的结果。

“华容道”仅是“滑块游戏”大类中的一个代表,此类游戏是运筹学中博弈论的探讨课题。

独立钻石棋

据说独立钻石棋是200多年前法国巴士底监狱单人牢房里的一个囚犯发明的。很快,它就成了与世隔绝的巴士底监狱里许多囚犯与看管他们的士兵所共享的“娱乐品”了。法国大革命时期,监狱被攻破,这一智力玩具随之“破门而出”,不久就传遍了全世界。

该棋的棋盘呈对称十字形,共有33个孔,都编好号,每个孔上都有一枚棋子,但正中心的第17号孔空着。走棋规则同跳棋基本一样,即必须并只许跳过一个子,可以连跳,到停止时才算走完一步;转弯跳和斜跳是不允许的;凡是被跳过的子就算被吃掉,随即拿出棋盘。

走棋目的是要使棋盘上最终留下来的子越少越好,如果最后只留下一子,并且它正好位于棋盘正中心的第17号孔上,那就是最好的结果。此种局面称为“独立钻石”。

独立钻石棋具有相当深刻的数学内涵,因此200多年来,吸引了成千上万名爱好者,出版过各种小册子,纪录也不断被刷新。清华大学一位教授编写的《组合数学》一书中也有解法,但步骤较多,不是最好的解法。20世纪80年代上海电视台《科技之窗》节目中也曾公开“悬赏”过,奖品是自行车一辆。

现有的世界纪录是由布荷特所获得的,共需要18步,走法如下:

① 29-17, ② 26-24, ③ 33-25, ④ 18-30,

⑤ 6-18, ⑥ 13-11, ⑦ 10-12, ⑧ 27-13-11,

⑨ 23-25, ⑩ 21-23, ⑪ 8-10-12-26-24-22,

⑫ 31-33-25-11, ⑬ 1-9, ⑭ 16-4, ⑮ 3-1-9,

⑯ 7-21-23, ⑰ 28-16-4-6-18-16, ⑱ 15-17。

上海的万萍萍通过独立钻研,也发明了一种18步的解法,从而平了世界纪录,那辆自行车也被她得去。根据计算机人工智能研究,专家们认为,少于18步的解法是不存在的。

最后的晚餐

“独立钻石棋”传到英国后,棋盘的形状发生了改变,从十字形变成八边形,角上多出了四个点。当然,棋子也相应地多出四枚。

英国人觉得结局只剩下一枚棋子太单调了,于是他们根据《圣经》里的故事,改作“耶稣的十二门徒”,也叫“最后的晚餐”。开局是36个棋子摆在棋盘上,空位在中,要求结局剩下12个棋子,分别位于东北、东南、西北、西南四边(见图)。走棋法则同独立钻石棋完全一样。

1985年,这个游戏传到中国时,据说需要21步。后来本问题在《科学画报》上公开征解,激起了读者们的极大兴趣,来信竟达数千封之多,充分证明,我国青少年中智力出众者确是大有人在。

迄今为止,最优解法是由上海的朱方付所得出,他的解法只要15步,比原来的21步削减了将近三分之一。

他的解法如下:

(1) 32→19, (2) 12→26, (3) 10→12,

(4) 6→19→32, (5) 14→12, (6) 24→26,

(7) 32→19, (8) 28→26,

(9) 1→11→25→27→13→11, (10) 3→1,

(11) 22→20, (12) 37→27→13→3,

(13) 35→37, (14) 16→18, (15) 11→25→35。

现在还不知道是否有更长的连跳步法,也不能证明15步就是最优解。突破纪录的希望寄予后来者。

三叶苜蓿花

花朵的形状相信谁都不陌生,小朋友画的图画上总是少不了花花草草的。但是观察一下花的模样,虽然花瓣的数量可能不同,但是有一个共同点: 那些花瓣都是用光滑的曲线绘制而成的。那么你有没有见过用线段画出来的花朵呢?线段给人的感觉比较刚硬、挺拔,可是花朵总是给人感觉柔美,两者怎么能联系起来呢?

三叶苜蓿花(如图1)长有三片小叶子,由于其美丽的外形而在装饰品上广泛采用。其实三叶苜蓿花又叫天蓝,是爱尔兰国家的象征。传说大约生活在公元385年到461年的圣父就是用它来阐明圣父、圣子、圣灵三位一体的教义的。直至今天,人们还可以常常看到爱尔兰人佩戴三叶苜蓿花。今天我们就一改往常的做法,尝试用线段连接来描绘出美丽的三叶苜蓿花。

图1

图2

首先,我们如图2绘制一个少了一条边的正方形,将正方形的边长十八等分,并按照下图所示标上序号,正方形的两条对角线也同样分别标上序号。由于三叶苜蓿花的三片花瓣一模一样,而且每片花瓣又都是轴对称图形,因此我们以半片花瓣的画法为例。

在图2中我们选取图形上方的三角形的左侧来绘图,如图3。我们用一对括号来代表线段的始点和终点,始点数字是正方形对角线上相应的序号,终点数字则是位于正方形边上相应的序号。线段连接: (9, 1), (8, 2), (7, 3), (6, 4), (5, 5), (4, 6), (3, 7), (2, 8), (1, 9)。我们根据同样的连接方法可以得到另外一半的花瓣以及另外两片花瓣。如果你想要绘画更加精美,当然也可以将正方形进一步地细分,那三叶苜蓿花自然就会更加完美,如图4。

图3

图4

巧妙地运用线段连接绘制成三叶苜蓿花,如果要画四叶草那不也是轻而易举的事情了吗?

猜年龄

观察下表。很普通的一张表,光看数字排序似乎也理不出个头绪。但正是有了这张表,只要你告诉我哪几列中有你的年龄数,我就可以马上知道你今年是几岁(1~63岁之间)。

续 表

续 表

不相信?那我们就来试试看吧。

如果甲的年龄出现在第一列、第四列、第五列上,那么他就是25岁。

如果乙的年龄出现在第二列、第四列、第六列上,那么他就是42岁。

验证一下呢?如果甲是25岁,那么在第一列、第四列、第五列上而且只在这几列上出现了甲的年龄;乙也同样如此。

既然都满足,那我们仔细研究一下这张表到底有什么神奇之处。你会发现,这张表中各列的第一个数分别是1(20)、 2(21)、 4(22)、 8(23)、 16(24)、 32(25),而1到63中的任何一个数都可以唯一地表示成上述若干个数的和,例如25=16+8+1, 42=32+8+2。造表时,从3开始,看每个数可以拆成上述哪几个数的和,就把它填入哪几列中。这样,当你告诉我你的年龄出现在哪几列上时,实际上就是告诉我你的年龄是上述这几个数中对应的某几个数的和。所以,在这张特殊表的帮助下,我就可以准确地“猜”出你的年龄。也正是因为这种构造方法,才使得所猜年龄的范围局限在1~63以内。

明白了原理想要自己构造还不容易?还不赶快试试构造一个范围更广、更加完善的表。

鲁比克魔方

1973年,匈牙利建筑师埃尔诺·鲁比克(Ernö Rubik)发明了一种奇妙的智力玩具——魔术立方体,简称魔方。短短几年中间,魔方就风靡全球,为此,1980年9月18日在德国埃森市,鲁比克被授予“1980年最佳游戏发明奖”。

所谓魔方,是一块像小孩玩的积木一样大小的立方体,它的六个表面分别涂上六种不同颜色,每一面又分成九块,开始时是同一种颜色。立方体内部有一个结构很巧妙的十字轴,组成大立方体的26个小组件并不完全一样,而是可以分成三类,无论组装或拆卸都很方便,制造成本也极低廉。魔方的旋转中心是一个六向接头,每一头分别连接着六个中心块,八个角块和十二个边块依次镶嵌在六向接头上,以组成一个完整的魔方体。这时它就可以按横行或纵列绕中心块任意旋转,出现变化无穷的图案。根据精确计算,魔方能变幻出各种不同颜色的全部组合数,高达=43252003274489856000,即大约是4.325×1019

魔方的玩法简单之至,每次动作都是以某一个面为单位,按顺时针或逆时针方向旋转90°,任何人只要瞥上一眼就能学会这个“单元操作”,所以即使二三岁的小孩也能够自由摆弄。虽然如此,要想把一个弄乱了的魔方恢复原状却是极其困难的。有人已用群论与计算机证明,只需22步即可把一个任意打乱的状态“六面还原”,但这只是个“存在定理”并没有具体步法。

魔方是一种极有意义的线性代数与群论教具,它与夸克理论、分数电荷等理论物理问题也存在着深刻的内在联系。如今,魔方浪潮虽已成为过去,但它在全世界仍然拥有无数的研究、爱好者。近年来还出现了每面分成十六块的四阶魔方和各面分别分成正方形、矩形、筝形、等腰三角形等不同形状的不规则魔方,其复原的步骤更加繁复,游戏更加引人入胜。

速算骰子

刻着三位数的五粒骰子,无论停在哪一面上,都能立即算出其总和,这可能吗?

以前苏州玄妙观的地摊上有一种奇妙玩具出售。它是一组骰子,共有五粒,都一样大小,同普通骰子一样,也有六面,但却不刻一、二、三、四、五、六。

第一粒骰子上刻着: 483、 285、 780、 186、 384、 681;

第二粒骰子上刻着: 642、 147、 840、 741、 543、 345;

第三粒骰子上刻着: 558、 855、 657、 459、 954、 756;

第四粒骰子上刻着: 168、 663、 960、 366、 564、 267;

第五粒骰子上刻着: 971、 377、 179、 872、 773、 278。

把它们随便一掷,然后把各粒骰子面上的数相加,例如:

483+147+855+663+278,

由于这是五个三位数相加,因此即使用小型计算器来做也得花费一会工夫。然而,表演者却能在转眼之间报出它的正确答数: 2426。

假使你认为这是巧合,那就不妨请你随便再掷几次,他每次都能以出人意料地快速算出来。

他的窍门是: 先将五个数的末位相加,得数为N,把它作为一个四位数的后两位(若N是一位数,则在其前面添上0),再将(50-N)作为四位数的前两位,答数就出来了。

这个方法的证明很简单,因为五组数有两个特点:

(1) 每组数的中间一个数都相同,分别是4、 5、 6、 7、 8;

(2) 每组数首尾两数之和也相同,分别是8、 13、 9、 10、 7。

设掷出的五粒骰子,其顶面五个数的末位数是x1、 x2、 x3、 x4、x5,则此五数必为:

100(8-x1)+40+x1=840-99x1;

100(13-x2)+50+x2=1350-99x2;

100(9-x3)+60+x3=960-99x3;

100(10-x4)+70+x4=1070-99x4;

100(7-x5)+80+x5=780-99x5

所以它们的和S=5000-99N=100(50-N)+N,它便是窍门的来历。

本玩具也不限于五粒骰子,现在,八粒骰子以及刻有四位数的骰子都已分别造出来了。

尼姆

尼姆是英文游戏名称Nim的译音,它有“取”、“拿”的意思。但也有人认为,它起源于中国南方闽、粤一带的“翻摊”游戏,后来由一位留学生把它传播到欧洲。

把一些火柴分为几堆,最常见的是分为三堆,各堆的火柴根数分别为3、 5、 7。两个人轮流拿取,规定是: 每次只能在某一堆中拿,但数目不限。谁拿到最后一根者为输。

我们分析一下,什么是胜利形势(留给对方的形势)。

(1) (1, 1, 1)是胜利形势,因为不论对方在哪一堆中拿取一根,你也拿掉一根,最后一根就必然是他的了。

(2) (2, 2)也是胜利形势,因为对方在一堆中拿掉一根,则你在另一堆中拿掉二根,他拿二根时你拿掉一根,最后一根还是留给他了。

(3) (3, 3)、(4, 4)、(5, 5)等也是胜利形势,因它可以转化为(2, 2)。当然也会有“笨人”取走一堆中的全部火柴,这时你可在另一堆中取,把最后一根留下来。

采用逐步递归的办法,我们可以进一步证明尚有如下的胜利形势,它们是: (1, 2, 3)、(1, 4, 5)、(2, 4, 6)、(2, 5, 7)等。

“胜利形势”是否有什么内在规律,更便于掌握和记忆呢?我们可以介绍一个简单的判别法则:

把各堆的火柴根数化为二进制数字,然后把各位数分别相加,如果相加后得到的全是偶数,则这种局势必然是胜利形势。

例如开局时的三堆火柴根数为3、 5、 7,把对应的二进位数字按位相加:

其中有一个数字是奇数,所以它不是胜利形势,此时先走者只要从随便哪一堆中取走一根火柴,就都是胜利形势:

    

所以,如果掌握了规律,先取者将稳操胜券。这个游戏貌似简单,却蕴含着一些对策论的思想。

蒙眼猜牌

有些扑克牌魔术,表演起来非常神奇,以致许多不明真相者竟误认为表演者具有某种“特异功能”。

下面介绍一种具有数学道理的扑克牌魔术。表演者叫别人用手帕或布条严严实实地蒙住他的眼睛,然后使用一副普通的扑克牌,共四种花色,五十二张牌。

请一位观众任意抽出一张牌,牌面向上,数一数它的点数(A算作1点,老K和Q、J各算作10点,其他牌的点数都与其面值相同)。要求从大堆牌中取出一些牌来覆盖在它上面,以使得底牌的点数与覆盖牌的张数相加起来正好等于12。例如当初取出的那张牌是方块7,那就要从大堆牌中取出五张牌来覆盖在它的上面,以形成一堆。完成这样的操作之后,就称牌已“做”过,将它放置一旁,不要去动它。然后在大堆牌中再任意抽出一张牌来,重复上面的同样做法,直至形成了第二堆。

第三堆、第四堆……也是同样办理,而且随便几堆都行,任凭你的高兴。当然,在“做”牌时,上述条件必须严格执行。

魔术家只要凭他的触觉,摸一摸做过的共有几堆牌,以及剩余的牌数,便能准确说出各堆中最下面的一张牌(称为底牌)的点数总和,而且十拿九稳,百发百中。

为什么他有这样大的能耐呢?原来,他的窍门是掌握了一个公式:

底牌点数之和=13(p-4)+r,

其中p是堆数,r是剩余牌数。

假设某堆做过的牌中,底牌的点数是x,则根据规定,底牌与盖在它上面的牌的张数之和必为(13-x)。类似的推理显然对所有的各堆全都适用,于是我们可以列出方程

(13-x1)+(13-x2)+…+(13-xp)+r=52,

13p-(x1+x2+…+xp)+r=52。

x1+x2+…+xp=13p-52+r=13(p-4)+r。

因此,底牌点数之和x1+x2+…+xp是堆数p与剩余牌数r的线性函数,自变量一经确定,它就随之而定。只要表演时仔细一点,不出差错,戏法就绝不会失败。

有趣的是,表达式p-4不一定要求是大于或等于零,负数也行,所以堆数p可以小于4,甚至p=0,那是一种最极端的情况,这时公式变成恒等式0=0,可是仍未失效。

六道轮回

印度有一些数学游戏,风格极为独特,不仅具有深刻的佛教哲理,而且以现代数学为背景。表演起来却又特别简单,甚至连低年级的小学生都能做。

老师把班上的七名小朋友叫来,各人准备一支铅笔和一张纸条来做一个不开口的数字接力赛。要求第一个孩子在纸条上随便写下一个数字,除了0与1之外,随便什么整数、分数、小数统统都可以。写的时候,当然不能让别人看见。写好之后,把条子传递给第二人。后者看到纸条上的数字之后,需要对此数字作一个“变换”,即把此数改写为它的倒数,写在另一张纸条上之后传给第三人。第三人看到数字后,也要作另一种变换,即用1减去纸条上的数字,把差数写在另一张纸条上,传给第四人。以后的办法也都差不多,第四、第六人作的都是“倒数”变换,而第五、第七人作的都是“1-?”变换。

纸条像走马灯一样,迅速地在孩子们手中无声传递。第一个孩子首先在纸条上随便写了一个看上去很不整齐的分数。岂知,最后回到他手里的竟仍旧是这个

这里究竟隐藏着一条什么规律呢?

如果我们把第一个写下来的数字记作λ,那么孩子们所写的数字,变来变去,总不外乎下面六个数字:

λ, , 1-  , 1-λ。

如果表示得更清楚一些,则可以写成车轮或走马灯形状(如图)。

上述λ序列的六个数字,不仅有趣,而且重要。它在射影几何学中名叫“交比”,是一种不变量。λ是不能等于0或1的,否则不能取倒数或做“1-?”运算,所以必须在事先排除这两个数。

游戏中的六个数字,好比是六种不同状态,转来转去,周而复始,永远摆脱不了。这就是有名的“六道轮回”学说,它是印度佛教哲理的精华,其实质是永世循环的宇宙观。

九连环

英国科学家李约瑟博士在《中国科学技术史》中特别提到九连环,1550年在意大利数学家卡尔达诺(G. Cardano)的著作中也已经提到它,但究竟起源于何时则还不清楚。

可以用粗铅丝制作九个圆环,每一环上连一较细的铅丝直杆,各杆都在后一环内穿过,插在白铁皮上的一排小孔里(图1)。玩的目的是要把九个环都套到钗上,或者把已套在钗上的九个环全都脱下来。需要的步数为341步。

图1

玩九连环的要点是: 最尽头的那个环可以随意从铁片上取下或套上,而其他的环只有当邻近的环处于一定状态时才能取下或套上。说得具体些,那就是: 如果某一个前面有一个邻接的环套在钗上,而且所有前面的环仅有这一个在钗上时,那就可以把这个环套上去,此种动作叫做“上环”(见图2)。与此相反的动作称为“下环”。

图2

我国著名的古算研究家许莼舫先生曾把九连环的解环动作总结成三句口诀:“一二一三一二一,钗前连二下第二,钗前单一上后环”,就能迎刃而解。据他说,把九环全部上好或全部脱下,约各需六分钟,当然只有非常熟练的人才能达到这个速度。

九连环是一种雅俗共赏的智力玩具。曹雪芹在《红楼梦》里提到,贾宝玉经常和姐妹们在荣国府以及大观园里玩这种游戏。

近来,美国计算机专家丢德尼(Dewdney)已经撰文指出九连环与二进制计数以及格雷(Gray)氏编码之间的深刻联系。所以,即使在现代化的数字通信方面,九连环也拥有它的一席之地。

“生命”游戏

“生命”游戏是细胞自动机理论的一种最简单实例,它是当代英国著名代数学家、剑桥大学教授康韦(J. H. Conway)所发明的,由于数学科普作家马丁·加德纳的推荐而迅速传播到世界各国。

可以利用围棋盘,也可以自己临时在纸上画许多方格而制成,棋子可用围棋子或图钉、纽扣来代替。

“生命”游戏是单人游戏,它能模拟自然界各类物种的增殖、稳定、面临灭绝与摇摆不定。开始时,在棋盘的格子里随便放置几只棋子,构成一种几何图形,并予以命名,例如三叶虫、四眼鱼等,称为原始物种。构成图形的每一只棋子,称为“细胞”。规定每个细胞有8个“近邻”。除了上、下、左、右四个近邻之外,与之最接近的四个斜角上的细胞也算邻居(见图1)。

图1

从一个状态过渡到下一个状态需要满足以下三条规则:

(1) 存活——具有2个或3个近邻的细胞,下一时刻将继续生存。

(2) 死亡——具有4个或4个以上近邻的细胞,在下一时刻要死亡,这是因为过分稠密、食物不足以及环境质量恶化而导致的死亡;另外,只有1个近邻或没有近邻的细胞,在下一时刻也要死亡,这是由于过分稀疏而导致的死亡;死亡的棋子就要拿出棋盘。

(3) 新生——如果棋盘上有某一空白点,此刻恰有三个近邻,则在下一时刻,在这一空白点处将要“出生”一个细胞。

规则仅此三条,十分简单,任何人都能理解,但是照此演变下去,却是变化莫测的。现在,人们已经编好程序,使它可以在带有图像显示设备的计算机上进行模拟。它着实要比一些“捉强盗”、“星球大战”等电子游戏有意思得多。

图2的“三叶虫”是一种“振荡态”,像是十字路口闪烁的红绿灯。

图2

图3的“乌龟”则是一种稳定状态,保持原状,不生不灭。

图3

图4的“长蛇”却越缩越小,最后灭绝。

图4