牟合方盖指的是什么 牟合方盖是怎么形成的

来源:吉言网 编辑:凤梨 2018-12-14 16:43:23

有两个圆柱体,它们的底面半径都等于1。当这两个圆柱体相互贯穿,且它们的中心轴相交时(如图1),它们相互贯穿的部分(如图2所示的相贯体),称为“牟合方盖”,因为它的形状就好像上下对称的两顶方伞。试问它的体积是多少?

这种立体超出了中学所研究的几何体的范围,用中学的常规方法是难以解决的。

图1

图2

图3

我们设想在相贯体中放进一个半径为1的球,使球心正好落在圆柱两轴的交点上。

再设想用过两轴的平面去截这个相贯体,截面如图3所示。相贯体被截出一个正方形,内有一个内切圆;它们的面积分别是4和π。再将上述截面作平行移动,相贯体被新的平面截出的仍是正方形(只是小一些),内有一个内切圆,不难知道,它们的面积比是4∶π。

每一个这样的平面去截相贯体和球时,所得截面的面积比都是4∶π,于是可以推出相贯体与球体积之比也是4∶π。而球体积为π,所以相贯体体积为

这个算法的依据是公元5世纪时祖冲之的儿子祖暅提出的“祖暅原理”:“缘幂势既同,则积不容异”,也就是说:等高处截面积都相等的立体,它们的体积一定相等。祖暅原理中已包含着微积分的思想,而在西方直至1635年,才由意大利数学家卡瓦列里(B. Cavalieri)发现此原理。其实,比祖暅更早的魏晋时数学家刘徽(公元3世纪)对这个相贯体就深有研究,“牟合方盖”这个名称就是他提出的,当时,刘徽已经得出:牟合方盖的体积与其内切球体积之比等于4∶π。

精彩阅读